Matemáticas, Ejercicios.

1 y 3

Donaldo Macias 

 

“Procesos Industriales Área de Manufactura”

Funciones Matemáticas

Lic. Mata

Luis Donaldo Macías Salinas

2”C”

11/01/16

Rectángulo Dorado (áureo)

Es un rectángulo muy especial,  cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo, los griegos lo consideraban de de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura  inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño carta miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parece a la razón aurea, sólo por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos.

De estos rectángulos podemos obtener una gran infinidad de rectángulos, es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.

Los griegos utilizaban estas proporciones a sus famosos monumentos, unos siglos después una de las mentes más grandes que ha existido en la humanidad, Leonardo da Vinci que vivió entre los años 1452 y 1519 profundizó en los estudios y aplicaciones y fue él quien dio los nombres de razón áurea, número de oro, etc. Para los griegos el rectángulo áureo era un rectángulo además de bello por sus proporciones, era misterioso. Existen muchos trabajos, estudios sobre algunas figuras geométricas basadas en este rectángulo.

¿Cuáles son sus dimensiones?

El rectángulo áureo aparece con frecuencia en la naturaleza, así como en muchas obras artísticas y objetos inventados por el hombre. Se le denomina también como rectángulo de oro, y es el rectángulo cuyos lados están en “razón áurea”. La razón áurea, o número de oro, es un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes.

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

 

 Este valor numérico nos debe arrojar el siguiente resultado:

  

Leonardo Pisano y el Número Áureo

 También llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo ,intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

El número de Oro

El número de oro, también conocido como razón áurea, suele representarse con la letra griega Φ, en honor a Fidias, el arquitecto que diseñó el Partenón, (es un templo dedicado a la diosa Atenea que protege la ciudad de Atenas), es el monumento más importante de la civilización griega antigua y se le considera como una de las más bellas obras arquitectónicas de la humanidad. El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ó proporciones áureas, como veremos más adelante en el desarrollo de este tema. Pero, ¿Por qué es tan importante este número?, ¿Qué mide?. Este número aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, primeramente en la naturaleza, en las proporciones de los cuerpos de los seres vivos, en la forma de distribuirse hojas y flores en el tallo de las plantas, y luego en todas las obras de la mano del hombre. Se ha usado como elemento de diseño en construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, siempre con el propósito de crear belleza, armonía y perfección, Los rectángulos áureos cumplen una sorprendente propiedad, y es que dentro de un rectángulo áureo se pueden meter infinitos rectángulos más, de manera que sigan siendo áureos. El rectángulo áureo inicial HKNP se ha dividido en un cuadrado y otro rectángulo á u reo GMKH, y en este último se repite el proceso..., y así indefinidamente hasta tener infinitos de estos rectángulos. Para construir la espiral logarítmica, se utilizará el cuadrado de cada rectángulo áureo, se trazan arcos en estos cuadrados, con la única condición de elegir el centro conveniente para que la espiral tenga continuidad.

EL NÚMERO DE ORO EN LA NATURALEZA

El hombre como medida de todas las cosas, según el esquema de El hombre de Vitruvio, que es un auténtico símbolo para la humanidad y que recoge las ideas clave del pensamiento renacentista que tan bien supo plasmar Leonardo Da Vinci en su famoso dibujo "La cuadratura humana". Realmente el gráfico conocido como El hombre de Vitruvio es una ilustración que Leonardo Da Vinci realizó para el libro La Divina Proporción, escrito por su amigo Luca Pacioli, quien a su vez tomó sus ideas de los arquitectos romanos del renacimiento. En este gráfico aparece un hombre inscrito en un cuadrado y en círculo, y sólo intenta mostrar las proporciones áureas que hay en un cuerpo humano.

 El Partenón, templo griego dedicado a la diosa Atenea que protegía la ciudad de Atenas, fue mandado construir por Pericles, en honor de la diosa. Su realización fue encargada a los arquitectos Calícrates e Ictinios, bajo la supervisión artística del maestro Fidias, de quien toma su nombre el número de Oro (Φ phi), entre los años 447 y 432 a.C. Fidias utilizó en su construcción su conocimiento de la belleza y armonía, inherentes al número áureo, para fijar las dimensiones de todo el edificio y situar los detalles escultóricos. En su diseño los arquitectos debieron de realizar numerosos estudios y maquetas, y el complejo arquitectónico en conjunto, y en cada una de sus partes, tiene presente la división áurea. Y en la gran pirámide de Keops la relación entre la mitad del lado de la base y la altura de los triángulos laterales es también el número de Oro. También está presente el número de Oro en construcciones un poco más cercanas, como la Torre Eiffel o la catedral de Notre Dame.

Pero probablemente donde sorprenda un poco más encontrar el número de la Divina Proporción es en el terreno de la cirugía estética, surgida del afán por eliminar la imperfección del rostro humano y alcanzar más belleza y armonía. Este afán llevó al famoso cirujano plástico, Stephen Marquardt, afincado en California, a viajar por todo el mundo, realizando numerosas encuestas sobre belleza y tratando de encontrar un factor común a todas las caras bellas y armoniosas de este planeta. Encontró interesantes resultados sobre simetría y proporciones que le llevaron a contactar con expertos matemáticos en el campo de Teoría de la Medida, y también con ingenieros informáticos capaces de procesar en sus ordenadores los millones de datos recabados para transformarlos en imágenes. El resultado de años de trabajo en equipo es un elemento matemático, mundialmente conocido como Máscara de Stephen Marquardt, y que sirve, nada más y nada menos que para medir la belleza. Y esto no es una construcción pretenciosa con afán de llamar la atención, es simplemente el número de Oro elevado a la máxima potencia: El ansia de control y dominio por parte del ser humano para alcanzar la perfección. La máscara es el resultado de múltiples superposiciones de elementos áureos: pentágonos, triángulos áureos, rectángulos de Oro. Si se superpone una copia de la máscara, realizada en papel o plástico transparente, sobre una fotografía de un rostro humano, cuantas más líneas de la máscara coincidan con las líneas reales del rostro más belleza y armonía hay en dicho rostro.

A lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos han meditado sobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y la naturaleza de la realidad. Esta curiosa relación matemática, conocida popularmente como la 
Proporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hace más de dos mil años a raíz de su papel crucial en la construcción del pentagrama, al cual se le atribuyen propiedades mágicas. 

 La Espiral Logarítmica 

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. 

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus. 

En el Hombre 

Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo. 

Algo de historia 

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento. 

¿Qué mide? 


Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Ahora bién, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial entre =1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.

Rectángulo áureo 

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones. 
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vertices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte.  

 

 

 

 

La Proporción Aurea

De forma simple, la Proporción Aurea establece que lo pequeño es a lo grande como lo grande es al todo. Habitualmente esto se aplica a las proporciones entre segmentos. Esta razón ha sido venerada por toda cultura en este planeta. Podemos encontrarla en el arte, la composición musical, incluso en las proporciones de nuestro propio cuerpo, y en general en toda la Naturaleza "escondida" detrás de la secuencia de Fibonacci. En este sitio también proporcionamos algunos ejemplos de disciplinas en donde la presencia de la Proporción Aurea resultaba insospechada hasta hace poco. Este es el caso, por ejemplo, de la Física Atómica o la población de los codones del ADN del genoma humano completo.

Es este artículo voy a presentar lo básico sobre la Proporción Aurea. Como no me gusta dar las cosas por supuestas, tampoco espero que tu lo hagas. Por lo tanto, intentaré proporcionar demostraciones matemáticas o geométricas cortas de mis afirmaciones (no temas, no te vas a enfrentar a ninguna ecuación diferencial en derivadas parciales). Vamos a hablar sobre la definición de la Proporción Aurea, su construcción geométrica, algunas propiedades matemáticas, y algunos objetos geométricos importantes donde se puede encontrar. Las "aplicaciones" se dejan para las páginas separadas que puedes encontrar en la sección "Y mucho más...", aunque te recomiendo leer este artículo primero.

Qué es la sucesión de Fibonacci?

La serie de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Los dos primeros números de la sucesión son 0 y 1. Los otros términos son la suma de los 2 términos anteriores en la sucesión: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13…

Esta sucesión se la debemos a Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, matemático Italiano del siglo XIII. La sucesión descubierta por este matemático la podemos encontrar en la computación, matemáticas, juegos, en el arreglo de un cono, en la música, ¡hasta en la naturaleza!

El descubrimiento de Fibonacci nos entrega otras sorpresas como su aplicación en diferentes áreas, como en la imagen que se encuentra a continuación donde se construye un rectángulo con cuadrados internos que son la longitud de los números de Fibonacci. 

Rectángulo áureo